Obydwoje rodzice mieszkali początkowo we Lwowie, a później w Samborze. On sam, na prośbę babci, przebywał w Przemyślu i tu uczęszczał do szkoły oraz uczył się gry na skrzypcach, gdyż zgodnie z rodzinnymi planami miał zostać skrzypkiem wirtuozem.

W 1920 roku przyszły kompozytor wraz z matką, która towarzyszyła mu niemal przez całe życie, przeniósł się do Krakowa i rozpoczął naukę w Konserwatorium Towarzystwa Muzycznego, pod kierunkiem Jana Chmielewskiego. Osiem lat nauki u tego zasłużonego pedagoga zaowocowało zdobyciem poważnych podstaw wirtuozowskich. W 1928 roku Artur Malawski uzyskał dyplom Konserwatorium w zakresie gry na skrzypcach i teorii, z najwyższym wyróżnieniem – srebrnym medalem, rozpoczynając jednocześnie karierę solisty. Już podczas studiów, pojął pierwsze próby kompozytorskie, były to drobne utwory na skrzypce i fortepianie pisane tylko z myślą o sobie.

Jako solista i kameralista Malawski występował do 1934 roku, kiedy to na skutek sforsowania ręki, zmuszony został do wycofania się z życia koncertowego.Fakt ten zmusił go do podjęcia decyzji o zmianie swoich kwalifikacji muzycznych. W 1936 roku podjął studia kompozytorskie i dyrygenckie w Warszawie, które ukończył z wyróżnieniem, tuż przed wybuchem wojny.

Lata wojny i okupacji przeżył utrzymując się z nauki muzyki m.in. w Lublinie, Tarnopolu i Czarnym Dunajcu, gdzie mimo trudnych warunków wojennych, ciągłego ukrywania się, podjął wysiłek stworzenia obszernego, liczącego ponad 200 stron szkicu „Rapsodii Góralskiej”, która później otrzymała tytuł „Wierchy”. Dzieło to, ostatecznie ukończone w latach 1950 – 1952, miało stać się wizytówką kompozytora.

W lutym 1945 roku powrócił Malawski do Krakowa i rozpoczął pracę w Państwowym Konserwatorium. Wykładał kompozycję, dyrygenturę, a także przedmioty teoretyczne. W latach 1950 – 1954 prowadził również ze studentami w Wyższej Szkole Muzycznej w Katowicach. Po wojnie, oprócz pracy dydaktycznej, wiele koncertował jako dyrygent oraz zajmował się komponowaniem.

Zmarł 26grudnia 1957 roku w Krakowie po ciężkiej chorobie nowotworowej. Pochowano go na Cmentarzu Rakowickim  w Kwaterze Zasłużonych.

Ten znakomity muzyk, kompozytor, dyrygent, a także pedagog, z całą pasją poświęcający swój czas młodzieży, pozostawił po sobie bogaty dorobek kompozytorski, m.in.: 2 symfonie, wariacje symfoniczne, wiele utworów na skrzypce i fortepian, pieśni, utwory chóralne, kantaty, a także wspomniane już „Wierchy” – balet-pantonimę na głosy solowe, chór i orkiestrę.

W rodzinnym Przemyślu, w 75 rocznicę urodzin artysty, Państwowa Szkoła Muzyczna I i II stopnia otrzymała imię Artura Malawskiego. W budynku nr 6 przy ulicy Władycze widnieje tablica upamiętniająca jego miejsce urodzin.